式中U表示消费者一定时期内获得的效用总量，X1，X2，…，X n表示n种消费品的消费数量。假定式（1-1）是一个连续、可微的凹函数，即：

du /dxi ＞ 0 且d 2u /dx i 2 ＜ 0 （1-2）

式中i = 1，2，…，n，记du /dx i = MUi，称为 i种消费品的边际效用；式（1-2）的含义为“一个消费者从同一种消费品中获得的效用总量以递减的速率递增”或“一个消费者从同一种消费品每一单位的增量中所获得的效用是递减的”，这就是所谓的“边际效用递减规律”。

假定消费者在一定收入水平下总是购买效用最大的消费品组合，则消费者的行为可以转化为一个求解效用函数条件极值的数学问题。设I为消费者的收入，Pi为i种消费品的价格，则P1X1 + P2X2 + … + PnXn = I为消费者的预算约束，以此条件求效用函数（1-1）的最大值，得：

MU1 / P1 = MU2 / P2 = … = MUn / Pn = λ（1-3）

式中MUi = du /dx i ，即X i的边际效用；λ为货币收入的边际效用。

第二，由于式（1-1）至式（1-3）是以“基数效用论”为基础的，而效用的计量被认为是一个有争议的假设，所以希克斯等人建立了“序数效用论”，用“无差异分析”来取代效用的计量。该分析假定消费者购买两种商品X1、X2，且给定一个不变的效用水平U 0，则效用函数为：

U 0 = u（X1，X 2）（1-4）

式（1-4）表示给定的效用水平U 0可以从X1和X 2的不同组合中获得，由于X1的减少必须由X 2的增加来弥补，所以ΔX 2 /ΔX1＜ 0，即函数（1-4）为一条向右下倾斜的曲线；称∣ΔX2 /ΔX1∣为X1和X 2的“边际替代率”，如果要使总效用维持不变，则随着某一商品消费量增加而必须放弃的另一商品的消费量将不断减少，这就是所谓的“边际替代率递减规律”；这一规律说明，函数（1-4）为一条突向原点的曲线；在“序数效用论”中，这条体现同一效用水平、向右下倾斜并凸向原点的曲线被称为“无差异曲线”；如果给定预算约束I = P1X1 + P2X2，必有一条无差异曲线与之相切，该切点即为效用最大化的均衡点；在切点处两条曲线的斜率相等，因此有：

ΔX2 /ΔX1 = P1 / P2 （1-5）

式（1-5）的意义在于，经济学家似乎不用涉及效用的计量，只要通过消费变量ΔX和价格P，也可以推出与“基数效用论”同样的结果，即一个理性的消费者将按照“效用最大化”的原则来决定他的行为。

第三，由于“效用最大化”是新古典经济学以及建立在新古典基础上的现代西方主流经济学最基本的假设之一，而“最大化”本身已经暗含着效用在数量上的可比性；如果效用是无法计量的，经济学家怎样才能描述偏好和效用的“最大化”呢？萨谬尔森等人建立的“显示偏好理论”，就是为了解决“序数效用论”所蕴涵的这一巨大矛盾。

“显示偏好理论”的数学证明虽然非常繁复，但是它所包含的基本思想却非常简单：按照萨谬尔森的说法，“效用或偏好作为一种主观心理状态虽然是观察不到的，但我们可以观察到需求行为，即消费者在市场上作出的选择；一个竞争性的、理性的消费者通过自己的市场行为显示自己的偏好”，即“任意商品丛，只要费用低于所选择的商品丛，一个理性的消费者必然会认为，比起所选择的商品丛来，这一商品丛是不合适的”。 （Samuelson，1947）换句话说，消费者根据自己的偏好所选择的商品或商品组合必然是效用最大的，“效用最大化”正是通过消费者的选择行为“显示”出来的。

在上述基础上，现代西方经济学效用理论普遍使用“偏好”范畴来取代“效用”范畴，把效用仅仅看作是偏好的一个函数：即假定消费集（consumption set）或选择集（choice set）X是k维实数空间R k中的一个非负子集，如果行为主体对集合X中的选择束具有偏好关系，而这些偏好关系又能满足完备性、自返性、传递性和连续性的假定（事实上，这些假定已经包含在“理性人”的预设中），则偏好关系就可以用一个连续的效用函数来表示，即存在一个函数u：X→R，使得x1﹥x2 ，当且仅当u（x1）＞ u（x2）。（Varian，1992）

三、西方经济学效用理论批判

从西方经济学效用理论的发展中我们可以看到，“序数效用论”和“显示偏好理论”是在否定“基数效用论”的基础上发展起来的。从形式上看，这种否定确实避免了“效用可以被直接计量”这一令人困惑和尴尬的假设；但从内容上看，这种否定的有效性却非常值得怀疑。“序数效用论”和“显示偏好理论”对“基数效用论”的替代存在着明显的逻辑缺陷，主要表现在以下两个方面：

第一，“序数效用论”对“基数效用论”的替代是逻辑等价的同义反复。

我们知道，在“序数效用论”中“无差异曲线凸向原点”是一个未经证明的假定，而“序数效用论”的其他结论、包括“边际替代率递减规律”和“切点定律”都是从这一前提中推导出来的。但通过分析不难发现，“无差异曲线凸向原点”与“边际效用递减”事实上是同一个假定，它们二者在逻辑上是完全等价的：

当效用水平U为一确定值U 0时，无差异曲线的方程可以表示为：

U = u（X1，X2）= C（C为一确定的常数） （2-1）

等式两边取全微分，有：

(〆U/〆X1)dX1+(〆U/〆X2)dX2=0 （2-2）

或：

-(dX2/dX1)=(〆U/〆X1)/(〆U/〆X 2)（2-3）

而(〆U/〆X1)事实上就是X1的边际效用MU1，(〆U/〆X2)事实上就是X2的边际效用MU2；如此则有：

-(dX2/dX1)=MU1/MU2 （2-4）

而-(dX2/dX1)=dX2/dX1∣，事实上就是X1和X 2的“边际替代率”，所以：

ΔX2 /ΔX1∣= MU1 / MU2 （2-5）

由式（2-5）我们可知，“无差异曲线凸向原点”和“边际替代率递减”完全是被“边际效用递减规律”所决定的，而“边际效用递减规律”则是建立在效用可以被计量即“基数效用论”的基础上的。进一步，如果我们把式（2-5）代入前述式（1-5）则有MU1 / MU2 = P1 / P2 ，即：

MU1 / P1 = MU2 / P2（2-6）

这样一来，“序数效用论”用于描述效用最大化的均衡条件式（1-5）就完全还原为“基数效用论”用于描述效用最大化的均衡条件式（1-3）了。由此可见，“序数效用论”和“基数效用论”在逻辑上是完全等价的，它们之间的替代关系只不过是一种被虚假的形式掩盖着的同义反复罢了。

事实上，从常规思维出发，我们也能发现破绽，一个可以排序（不论按什么标准）的事物却不能通过数量来进行描述，是一件很荒唐的事。由此可见，离开了基数，任何序数都不能得到完整的说明。我猜想，正是由于这个原因，才使得“序数效用论”诞生60多年来，西方经济学家仍不敢轻易抛弃“基数效用论”；才会出现我们前面提到的、在其他学科中绝无仅有的现象：两种矛盾的理论竟可以如此相安无事地“和平共处”。

第二，“显示偏好理论”是一个无法被经验反驳和证伪的循环论证。

我们在前面曾经提到，抛开繁复的数学证明，“显示偏好理论”无非要人们相信这样一个结论：消费者在市场上选择了某一消费品组合，他的“偏好”就同时被“显示”了，因此经济学家无需数量描述，就可以证明这一组合必然是效用最大化的。但是，用命题“消费者选择的消费品必然是效用最大化的”来证明命题 “消费者选择的是效用最大化的消费品”，显然是一个逻辑上的循环论证。因为“显示偏好理论”事实上是用这样一种方法来“证明”消费者的理性行为：某个消费品只要被消费者选择了，那么它肯定就是“效用最大化”的。这一结论没有给经验判断留下丝毫反驳和证伪的余地！按照这个逻辑来推论，消费者在任何情况下都是“理性”的：不抽烟是理性的，抽烟也是理性的；不酗酒是理性的，酗酒也是理性的；甚至吸丨毒丨和自杀都可以被视作一种“理性”行为，因为这些行为都是一个人根据自身偏好最大化作出的选择。②

批判理性主义哲学的创始人波普尔在批判弗洛伊德精神分析法的伪科学性质时曾经举过一个例子：任何可以想到的病例和行为都能用弗洛伊德的理论加以解释，例如，一个人为了淹死一个小孩而把他推入水中，另一个人为了拯救一个小孩而牺牲了自己的生命；按照弗洛伊德的理论，第一个人是因为“恋母情结”受到了压抑，第二个人是因为“恋母情结”得到了升华。波普尔说，一种在任何情况下都“适用”（尽管不排除在某些情况下它的确适用）并且总是得到“证实”的理论不可能是科学的理论，判别一种理论是否科学的标准不是它的可证实性，而是它的可证伪性；换言之，科学的理论不能一劳永逸地在肯定的意义上被选拔出来，而只能在否定的意义上借助经验检验被选拔出来。（Popper，1963）在波普尔看来，一个经验的科学体系必须可以被经验所反驳，那些可以“解释一切”的理论，正是由于它们不可能被经验证伪而失去了作为科学理论的资格。

特别值得指出的是，波普尔认为数学命题不是科学，因为它们与逻辑重言式一样均属于同义反复，且逻辑永真而不能被证伪③，因而不属于科学命题的范畴。（Popper，1963）“显示偏好理论”把“效用最大化”能不能定量分析这样一个实证性的经验命题演绎成一个纯粹的数学命题，不但没有解决“基数效用论”与“序数效用论”之间的矛盾，反而因企图回避这一矛盾使自己陷入了更大的逻辑困境。

西方经济学效用理论也许不得不面对这样一个事实：如果效用是无法计量的，那么支撑整个现代经济学理论大厦的假设——“效用最大化”就将失去科学的根基；如果现代经济学不得不保留“效用最大化”假设，那么经济学家就必须回到100多年前的起点上，从基数的角度对“效用”以及“效用最大化”作出重新描述。

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注释：