以上例子中的悖论和矛盾，有一些在数学中并不会出现，或者说，在数学的推理过程中，某些特例是要排除在外的。这也就是说，现代数学中的推理并不完全是纯形式逻辑的，有时也要用一些辩证法。特别是微积分创立以来，这一点似乎更加明确了。但是，罗素以前发现的许多逻辑上的悖论，并没有引起人们的重视。只有当摇动了数学根基的"集合悖论"被罗素发现以后，才引起大哗，从而赶紧制定对策，加以弥补。这就说明，在根本问题上，数学并不承认辩证法，不然，就不会视悖论为洪水猛兽了。数学界这种不解决根本问题却整天忙于做一些修修补补的工作，终久不是长远之计。看来，为使数学跟上整个社会的发展，现在是到了应该认识到对这种现状需要进行改变的时候了。

从根本上来说，伴随着悖论出现的，还有一个东西，那就是"无限"。

我们可以回忆一下，数学史上的"第一次危机"的起因芝诺"飞矢不动"等悖论和无理数的发现及"第二次危机"的起因贝克莱对牛顿《流数法》中无穷小量的攻击，无不都与"无限"这一概念有着直接的关系。

其实，古希腊的数学家早已发现"无限"可以引来悖论，所以他们的推理中都极力避免使用"无限"概念。但是，由于近代数学极限理论的建立，使得数学家们以为可以放心大胆的使用"无限"概念了，没想到仍然引来了许多诸如"集合悖论"这样的问题。

我们刚才提到的五个矛盾例子，细细想来，也无一不与"无限"这个东西有关。

世界上所有兼有"二重性"的事物和概念，如时间和空间的有限无限性，基本粒子的波粒二象性以及"道"的极大极小性，也都与"无限"有着密切的关系。

事实上，一个事物同时具有互不相容的两种特性，本身就是一种悖论。这种被形式逻辑视为大逆不道的东西，却是辩证法最根本的规律对立统一。也是现实世界的普遍存在形式之一。

前面我们还分析过，悖论是一种只有两个环节的链条。但从其"A 一般来说，从量变到质变可分为两种形式：一种较为平缓，即质变是在量变的过程中不知不觉地完成的。而且对于到底量的积累进行到哪一步时，就算完成了质的变化，是没有一个很清晰的界限的。如中国的奴隶制向封建制的过渡，就是一个非常漫长的过程；另一种形式则比较激烈，即量变在暗暗地进行到某一阈值（临界值）时，质变就以一种明显的、突然的形式爆发出来，这就是我们常说的产生了一个飞跃，一个突变。西欧从古罗马的奴隶制向中世纪的封建制的转变，就是一个典型的例子。

英国故事影片《百万英磅》中的那个穷光蛋，并没有经过由穷到富的一个量的积累，却由于捡到了一张不能兑现的百万英磅的支票，就一夜之间成了一个大富翁。人们常说的暴发户，不就是这种只经过了极短的量变的"阶段二"，就发生了由穷到富的质的突变吗？

再如，在微观领域内，一个钠原子如果失掉一个电子的话，就变成了钠离子。但是，之所以产生这样的结果，一定是有原因的，也许还不止一个原因。那么，这些原因显然不是一下子就能够形成的（这里并不排除在很短的时间内形成）。这些原因由少到多、由小到大的过程，不就是一个量的积累吗？不过，这样的量变非常隐晦，而质变却又过于明显，于是，就给人一个错觉，以为是质变与量变同时发生了。

事实上，在我们的认识范围之内，难道不应该承认现实生活中存在着昙花一现，稍纵即逝的事物吗？不应该承认在毫无预兆的前提下，也能爆发一些突然事件吗？所有这些，都能给人一种好象是质变与量变同时发生的错觉的。

当然，质变量变规律并没有错，问题是我们对这个规律不能只看到有限，而看不到无限；只看到"显"的，而看不到"隐"的。这样，就会形成一种以为质变量变规律在某些问题上被打破了的错觉。

其实，对于一个具体的悖论，从"A 言归正传。一般来说，"无限"可以分为两类，一类为可转化为有限问题的"无限"，如康德"二律背反"中涉及到的无限问题。在数学中，第一类"无限"被称为"收敛的"，完全可以用极限理论把它算出来，即"说不清"问题通过数学知识可以说得清；第二类"无限"则被称为"发散的"，其结果也只能用一个"∞"来表示，真正的说不清了。对于现实世界中的这一类"无限"，康德早就下过这样的论断："无限是经验是永远也无法证实的，而有限经验则是可以不断打破予以否证的。"也就是说，这一类"无限"也同时是人们认识的极限，我们在向这一类"无限"进军的时候，取得的每一个胜利，都是对"极限点"的近似而不是到达。人生的乐趣也就在于此。但是，也有一种表面看来好象与"无限"无关的问题，其实质却仍然是"无限"。比如"罗素集合悖论"和"说谎者悖论"。

下面，我们就具体来分析一下这两个最典型、最令人困惑的悖论的无限本质。

按照罗素本人为消除悖论而创立的"类型论"，可把集合分为如下的层次：

零类：个体．

１类：以个体为元素的集合．

２类：以１类集为元素的集合．

……

n类：以（n-1）类集为元素的集合．

把类再并为级：

零类：个体．

１级：零类集Ｕ１类集．

２极：零类集Ｕ１类集Ｕ２类集．

……

n类：零类集Ｕ１类集Ｕ２类集Ｕ……Ｕn类集．

这样，在有限极集合中，可以有效地避免罗素"集合悖论"的产生。因为在任意的n（n∈N）极集合中，不会出现以自己为元素的非常集；只有在（n＋1）极集合中才会出现包含n极集合的集合。但是现实生活中，非常集却是大量地存在着。问题出在哪里呢？仔细想来，正是因为我们不承认无穷大数的存在引起的。假如我们承认了"∞"数的存在（虽然现实中也许不存在如此大的数，但在理论上却应该给予承认，就像现实中并没有"数"这种东西，但我们在理论上必须承认，否则，许多事情将无法进行），那么，在∞级集合中就可以找到包含自身的非常集。因为∞＋1＝∞，所以∞＋1级集合与∞级集合就是同一级集合。仔细想一想，所谓由非马组成的集合不正是这样的一个∞级的集合吗？因此，悖论的产生也就是必然的了。

同样，我们也可以用塔尔斯基仿照"类型论"而提出的"层次语言"的理论来分析一下"说谎者悖论"。

把语言分为如下层次：

零层：基本语言；

１层：可论述零层语言（即元语言）；

２层：可论述１层语言的语言（即元元语言）；

……

n层：可论述（n－1）层语言的语言；

这里的"论述"二字，含有评价、形容、描述、表示等意义。

这样，在任意的某一个n层语言里就不会说出自己对自己进行评价的话来。而只有在比n层语言高一级的（n＋1）层语言里，才有资格评价n层语言。因此，"说谎者悖论"也就不会产生了。但是，把分层理论限定在有限层的做法，早已受到了人们的批评。因为这样做，会把我们美妙的语言结构变为没有价值的僵死之物，何况人们在进行语言交流时，并不能意识到所说的话是否在各个语言层次中跳来跳去。但如果我们把"我现在说这句话"看成∞层语言，则对"我现在说这句话"进行评论的语言只能是∞＋1层，同样由于∞＝∞＋1，因此"我在说这句话时正在撒谎"的悖论也就产生了。

悖论的类型无非就是两种，一是逻辑学上的，另一类是语义学上的。其它各个领域的悖论均可归为这两类之一。有了这两个典型悖论的分析以后，我们就可以用同样的方法对每一个悖论进行分析。因此，我们将看到，任何一个悖论的产生，都和无限--"无限大"或"无限小"密切相关。在有限的情况下，是不可能出现悖论的。这就是悖论产生的真正根源所在。

如果我们把整个非负实数看成是一根链条的话，其结构就是"o<1<2<…

看来，o与∞一定有着某种必然的内在联系。要想揭开这层秘密，要想最终彻底解决悖论问题，或者说要想使数学顺利地真正闯过"第三次危机"这一难关，就要来一个换位思考，不要只想得消灭悖论，而是是本书在第三章就已经提过的，把整个数学分为大小两类系统。小系统的建立已经基本完成，如ZFC和BNG公理系统；而大系统则要抛弃公理化方法，重新建立一种具有链条结构的系统化方法。当然，这一阵痛将是巨大的、史无前例的，因为它触动了数学最敏感的神经--严格性。这样一来，我们将会发现，大系统内部将会出现更多的矛盾和链条（这项工作似乎已经有人开始在做了）。但同时也会发现，整个数学将成为一个更加完善，各个分支之间联系得更加紧密的有机结合体。也许还将引起我们对整个数学学科的重新认识。但这无疑是符合历史发展规律的。

注释：

⑴吴国盛 “世界图景悖论――艾舍尔《画廊》的哲学解析”

⑵周剑铭 “中国思想和柏拉图哲学”

劳动价值论、不确定性和演化经济学 *

孟捷

作 者安徽省芜湖市人，1967年生，中国人民大学经济学院教授，主要研究方向为政治经济学和经济思想史。

摘 要本文的主要目的之一，是要回答斯蒂德曼对马克思劳动价值论的诘难。虽然这个诘难早在约三十年前就提出来了，但马克思主义者迄今为止所做的反批判，仍然是片面的，这些反批判丢失了劳动价值论的一个重要维度：没有把劳动价值论把握为理解资本主义再生产中的不确定性的理论工具。

本文由下述部分组成，第一节介绍斯蒂德曼在斯拉法理论的基础上对劳动价值论提出的诘难，第二节回顾了马克思的两种市场价值理论，以及鲁宾对马克思市场价值理论的阐释。第三节从价值确定的动态性出发，探讨了市场价值理论的进一步重建。在结论里，针对斯蒂德曼的批评，我们提出：生产的标准技术条件与市场价值之间的关系，并不像他所理解的那样具有单向的、决定论的性质；劳动价值论在马克思的经济学中被用来揭示资本主义再生产的目的和手段，条件和结果之间的不确定的联系。此外，在结论里还针对演化经济学家霍奇逊的观点提出，马克思的劳动价值论和多样性、“自然选择”等演化经济学所探讨的主题并不是无关的，正是借助于劳动价值论，马克思说明了技术变革和资本积累过程的协同演化。

关键词市场价值斯蒂德曼鲁宾不确定性演化经济学