气功理论中有这样一条："心诚则灵。"但对于死死咬定必须得让气功首先显现出其"灵"性来，才会相信、才能心诚的人来说，是永远也别想得到气功的好处的。事实上，高水平的气功师在传授功法时，也并不是很强硬地强调这一法则的。

我国传统的宗教理论中都反对"执着"，但如果这个反对过于强硬的话，岂不是又陷入了执着于"反对执着"这样一个自我矛盾里去了吗？

我们经常在观察外界事物，这时我们就称自己为"主观"，而外界则是"客观"，这是两个经纬分明的概念。但当我们拿起镜子来观看自己的容貌时，我们自己就变得主客观不分彼此了。

假如我们处处遵守逻辑上的一致性，那么就会产生诸如"如果你看到一只吃砖头的狗，千万不能小视，它可能是一个著名学者。"（摘自网文《辩证法与放屁》）此类的笑话。

事实上，现实中的人们常常对逻辑上的矛盾置之不理。如：基督徒并不因为上帝造不出一块他不能举起的石头就改变了自己的信仰；刚刚挤上公共汽车的乘客也不会因为几秒钟以前还在念叨"汽车千万别开"就取消"汽车快开吧"的祷告；对于许多的家长来说，也并不会因为想让自己的孩子能够得到良好的教育就去鼓励他将来要报考师范院校；虽然"只生一个"政策潜伏着极大的危机，它将会给我国带来人口质量、性比例失调及老年化和教育上等一系列的问题，但计划生育仍是我国的一项基本国策。

马克思在《经济学哲学手稿》中说："劳动底现实化那样厉害地表现为非现实化。"恩格斯也在《反杜林论》中称运动是物体在同一瞬间"既在同一地方，又不在同一地方。"毛泽东在《战争和战略问题》中也说："只能通过战争去消灭战争，不要枪杆子必需拿起枪杆子。"这些辩证观点，在逻辑上都将被看成悖论。

微观粒子的"波粒二象性"也是这样一个链条：波是一种发散状态，粒是一种聚集状态，怎么能同时出现在同一事物上呢？但事实确是如此。

《山西日报》1992年9月10日有一篇评论《抓住"放"字不放》，这个从逻辑上看来显然是一个悖论的标题，似乎更有深意，更能引人入胜，耐人寻味。

有这样的一句名言："沉默是金"。这句话能否对人表述，本身就是一个悖论。若讲出来，岂不违犯了本意？若不讲，又怎么能使人知道有这样的一句名言呢？显然这又陷入了悖论的窘境之中。但是，这句名言却是人所皆知的。逻辑上的严格性在这里又一次失效。因此看来，实际生活中，人们并不拘泥于所谓的严格性，他们总是承认矛盾，承认链条，又因为这种链条具有"三"的特性（关键环处于主要地位，普通环减少为零），所以人们有时甚至故意利用这种矛盾和链条来创造一种特殊的"艺术"效果。因为我们本来就是生活在矛盾的世界之中。

“荷兰版画家艾舍尔（M.C.Escher,1898-1972）是一位怪才，他的许多画都源于悖论、幻觉和双重意义。自相缠绕的怪圈是他画中一个经常出现的主调动机。侯世达(D.R.Hofstadter)在他的著名的GEB（《哥德尔、埃舍尔、巴赫》）中说，数学家是艾舍尔作品的第一批崇拜者，有许多物理学家比如李政道也很喜欢这些画。我认为，这些画也值得哲学家关注。”⑴

图十二是艾舍尔的部分作品。

大家知道，数学一向以准确、严谨著称。但它总是现实世界的一个抽象反映，当数学发展到一定程度的时候，现实世界的矛盾和实际生活中的链条就必然要反映到数学中来。因此，除历代数学家发现的链条式悖论以外，我们仍然还可以在除初等数学以外某些较高级的数学分支中找出一些其它类型的悖论，或者说自相矛盾的地方来。

例一：无穷大的数在数学中被认为是不存在的（这里说的是指数学中对数抽象的存在，非指现实的存在）。但不存在的东西，却要用一个实实在在的符号"∞"来表示，并且还可以象有限数一样进行运算。在后来康托尔的实数理论中，又引入了一个"势"的概念，来对"∞"进行大小的比较。这实际上是又承认了无穷大数的存在。

类似的例子还有：开区间（a，b）中最小与最大的数，也是两个不被承认的数，但它们却要用"a+"和"b-"来表示。这实在有些主观唯心主义或实用主义的味道。

例二：在欧氏几何中，直线是一条两端无限延长的绳子，这是一个不完整的直线模型（缺∞点）；而射影几何中，直线却是一根闭合的圆圈（由于－∞＝∞，所以在平面几何的直线上补上∞这一点，它就成了一个完整的直线模型链条了）。只不过这根链条的环节为无穷多罢了。于是就引出了许多的矛盾：

由于实数与直线上的点有着一一对应的关系，又由于直线可以规定方向，所以由此就能得出对于任意两不相等的实数a、b，总有ab同时成立这样一个悖论来。

在解析几何中，也有把直线看成半径无限大的圆的观点。故此有：直径＝半径＋半径＝∞＋∞＝∞＝半径。这又是一个不合数学逻辑的结论。

射影几何中，由于一个完整直线模型的建立，使得象抛物线、双曲线以及一切两端可以无限延长的曲线都变成了类似椭圆的封闭曲线。从逻辑上说，封闭就是封闭，不封闭就是不封闭，这是两个完全对立的概念，怎么能统一起来呢？显然这也是一个矛盾。

例三：偶数集与奇数集都是自然数集的一个真子集，也就是说，自然数集中有一部分元素都分别不属于这两个数集，或者说自然数集的元素个数要大于奇数和偶数集中的元素个数。但康托尔的实数理论却证明了这三个集合中的元素个数

都一样多。这也明显地是一个悖论。

还有类似例子：一条长度为0的线段与另一条长度为1的线段可由同样多的点来构成（参看任何一本《实变函数论》中关于"康托尔集"的讨论）。这就和历史上芝诺证明的阿基里斯（古希腊神话中善跑的英雄）永远也追不上乌龟的推论一样，虽然与显然的事实相矛盾，但却无人能够反驳倒他。

例四：实变函数论中，曾被严格地证明实数是不可列的（或称不可数的）。在这里，请看一个从宏观角度出发的推论：

因为实数集与数轴上的点有着一一对应的关系，又由实数的可比性和数轴的有向性知，实数在数轴上的对应点是有序的，也就是说，数轴上的点集是按一定顺序排列着的无穷点集。因此，实数是一个可列集。故实数可列。换句话说，数轴本身正是实数在几何上的一个排列形式。

在数学上，"可数"和"可列"是同一个概念。但从字义上看一个，显然"数"具有代数意义而"列"却具有几何意义。因此，对这两概念应该分而论之。事实上，实数虽然找不到它的代数排列方式，但却有一个几何排列形式明明白白地摆在我们面前，我们没有理由对此视而不见；另一方面，有理数虽然可以找到它的代数排列方式，却不易找出它的几何排列形式。在这里，可数与不可数、可列与不可列、实数与有理数和代数与几何一样，处于一种完全对等的地位，就象康德的"二律背反"那样，矛盾的双方均不能从理论上驳倒对方。欧氏几何与非欧氏几何的关系也是这样的一个典型。

康托尔的实数理论与人们的宏观感受是如此地不合，难怪他在精神崩溃以后要死于精神病院，也难怪他这一套毫无纰漏的理论至今仍然未被数学界普遍接受。

例五：对于数学中的某些规定，如公理、公设及定义，只要由此推出的系统没有矛盾，就被认为是合理的。但由于这些规定的人为性，因此，并不一定都是客观现实的真实反映。有的甚至故意违犯客观现实，却同样推出了满足相容性的系统来。问题的关键在于，号称严谨的数学家们竟然容忍了完全互不相容的几套系统同时并存这种与他们的思想格格不入的现象。最为典型的例子，当然还是欧氏几何学与非欧氏几何学同时并列称雄于数学领域的事实。

我们知道，欧氏几何公理系统中的第五公设的一个等价命题为：过直线外一点有且只有一条平行于该直线的直线。这和我们对客观世界的感受好象非常一致。但是，德国数学家黎曼却故意违犯人们的感觉，而将第五公设改为：过直线外一点无与该直线平行的直线。由此创立了与欧氏几何一样和谐的黎曼几何。但是，现代科学的发展却发现，欧氏几何的直线，在现实世界中并不存在，我们见到的直线（如光线等），其实都是半径极大的一小段圆弧。因此，其第五公设也与现实不符。倒是黎曼几何中的第五公设反而与现实更接近一些。因此看来，所谓绝对严格、绝对完美不仅在现实生活中不会实现，即使在数学这样抽象、严谨的学科里，也只能是一句空话。

再看一个例子：“莫比乌斯（Mobius）带和克莱因（Klein）瓶只是作为拓扑几何的著名范例而被充分研究，作为几何图形的性质它们是清晰、间单、甚至是优美的，但人们对它的所表达的事物性质却迷惑不解，几乎所有的数学家，哲学家，爱好者都对它的性质着迷，但难于理解这种简单的几何图象所表达的神秘性质：两个面如何是一个面？一个面又如何是两个面？它们是从形式的流变中的揭示了几何学的哲学，用几何学的方法表现了最深刻的哲学原理，这种西方哲学和几何学所未充分了解的秘密却在古代中国思想家中得到了充分的领悟。如果我们把莫比乌斯带和克莱因瓶进一步进行抽象的综合，即去掉它们的空间性质，我们可以得到一个更加抽象的思想图式，它就是中国太极图 (见图十三) 。它抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质――阴与阳和它们的统一，这就是古老的中国理念‘道’和‘易’。”⑵